AとBがサイコロを交互に投げるゲームについて、以下の問いに答える問題です。 (1) $n$ 回目にAがサイコロを投げる確率を $a_n$, Bがサイコロを投げる確率を $b_n$ とするとき、 $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ の値を求め、 $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ を $a_n$ と $b_n$ を用いて表し、$a_n + b_n$ と $a_n - b_n$ を $n$ の式で表します。 (2) このゲームでAが勝つ確率を求めます。

## 解答

1. 問題の内容

AとBがサイコロを交互に投げるゲームについて、以下の問いに答える問題です。

(1) $n$ 回目にAがサイコロを投げる確率を $a_n$, Bがサイコロを投げる確率を $b_n$ とするとき、 $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ の値を求め、 $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ を $a_n$ と $b_n$ を用いて表し、$a_n + b_n$ と $a_n - b_n$ を $n$ の式で表します。

(2) このゲームでAが勝つ確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $a_1$ と $b_1$: 1回目はAが投げるので、$a_1 = 1$, $b_1 = 0$ です。

* $a_2$ と $b_2$: 1回目にAが1,2,3の目を出す確率は $3/6 = 1/2$ で、この場合2回目もAが投げます。4,5の目を出す確率は $2/6 = 1/3$ で、この場合2回目はBが投げます。6の目を出す確率は $1/6$ で、ゲームが終わります。したがって、$a_2 = (1/2) \times 1 + (1/3) \times 0 = 1/2$, $b_2 = (1/2) \times 0 + (1/3) \times 1 = 1/3$ です。

* $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$: $n$ 回目にAが投げる場合、$a_n$ で、1,2,3の目を出す確率は $1/2$ なので、$a_{n+1}$ への寄与は $(1/2)a_n$ です。また、$n$ 回目にBが投げる場合、$b_n$ で、4,5の目を出す確率は $1/3$ なので、$a_{n+1}$ への寄与は $(1/3)b_n$ です。したがって、$a_{n+1} = (1/2) a_n + (1/3) b_n$ となります。同様に、$b_{n+1} = (1/3) a_n + (1/2) b_n$ となります。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}b_n$

$b_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + \frac{1}{2}b_n$

* $a_n + b_n$ と $a_n - b_n$:

$a_{n+1} + b_{n+1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) a_n + (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) b_n = \frac{5}{6} (a_n + b_n)$

$a_1 + b_1 = 1$ なので、$a_n + b_n = (\frac{5}{6})^{n-1}$ となります。

$a_{n+1} - b_{n+1} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) a_n + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) b_n = \frac{1}{6} (a_n - b_n)$

$a_1 - b_1 = 1$ なので、$a_n - b_n = (\frac{1}{6})^{n-1}$ となります。

(2) Aが勝つ確率: Aが勝つのは、$n$ 回目にAが投げて6の目が出る場合なので、確率は $(a_n)(1/6)$ です。したがって、Aが勝つ確率は、

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

ここで、$a_n = \frac{1}{2}((a_n + b_n) + (a_n - b_n)) = \frac{1}{2}((\frac{5}{6})^{n-1} + (\frac{1}{6})^{n-1})$

なので、

$\frac{1}{6} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{6} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} ((\frac{5}{6})^{n-1} + (\frac{1}{6})^{n-1})$

$= \frac{1}{12} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{5}{6})^{n-1} + \frac{1}{12} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{6})^{n-1}$

$= \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{1}{12} \cdot 6 + \frac{1}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 0, ウ: 1/2, エ: 1/3, オ: 1/2, カ: 1/3, キ: 1/3, ク: 1/2, ケ: $(\frac{5}{6})^{n-1}$, コ: $(\frac{1}{6})^{n-1}$

(2) 3/5