AとBの2人がサイコロを投げるゲームについて、以下のルールでゲームを行う。 - 1,2,3の目が出たら、次の回も同じ人が投げる。 - 4,5の目が出たら、次の回は別の人が投げる。 - 6の目が出たら、投げた人が勝ちでゲーム終了。 1回目にAが投げるとき、AがBよりも有利かどうかを考える。$n$回目にAが投げる確率を$a_n$、Bが投げる確率を$b_n$とする。$a_{n+1}, b_{n+1}$を$a_n, b_n$を用いて表し、それから$a_n + b_n$ と $a_n - b_n$ を$n$の式で表す。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

AとBの2人がサイコロを投げるゲームについて、以下のルールでゲームを行う。

- 1,2,3の目が出たら、次の回も同じ人が投げる。

- 4,5の目が出たら、次の回は別の人が投げる。

- 6の目が出たら、投げた人が勝ちでゲーム終了。

1回目にAが投げるとき、AがBよりも有利かどうかを考える。$n$回目にAが投げる確率を$a_n$、Bが投げる確率を$b_n$とする。$a_{n+1}, b_{n+1}$を$a_n, b_n$を用いて表し、それから$a_n + b_n$ と $a_n - b_n$ を$n$の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$で表します。

* $a_{n+1} = a_n \cdot \frac{3}{6} + b_n \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n$

* $b_{n+1} = a_n \cdot \frac{2}{6} + b_n \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n$

したがって、ア=$\frac{1}{2}$, イ=$\frac{1}{3}$, ウ=$\frac{1}{3}$, エ=$\frac{1}{2}$となります。

次に、$a_n + b_n$ と $a_n - b_n$を計算します。

$a_n + b_n = 1$です。常にAかBのどちらかが投げるので、確率の合計は1になります。

次に、$a_n - b_n$を求めます。

$a_{n+1} - b_{n+1} = (\frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n) - (\frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} b_n) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) a_n + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) b_n = \frac{1}{6} a_n - \frac{1}{6} b_n = \frac{1}{6}(a_n - b_n)$

よって、数列 $a_n - b_n$は公比$\frac{1}{6}$の等比数列です。

$a_1 = 1, b_1 = 0$ (1回目はAが必ず投げるため)なので、$a_1 - b_1 = 1$

したがって、 $a_n - b_n = (\frac{1}{6})^{n-1}$

オ = 1, カ = $\frac{1}{6}$, キ = n-1 となります。

3. 最終的な答え

ア = $\frac{1}{2}$

イ = $\frac{1}{3}$

ウ = $\frac{1}{3}$

エ = $\frac{1}{2}$

オ = 1

カ = $\frac{1}{6}$

キ = n-1