AとBがサイコロを投げ合うゲームについて、以下の設問に答える問題です。 - 1,2,3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。 - 4,5の目が出たら、次の回には別の人が投げる。 - 6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。 設問1: n回目にAがサイコロを投げる確率を $a_n$, Bがサイコロを投げる確率を $b_n$ とする。 $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ を求め、$a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ を $a_n$, $b_n$ を用いて表し、$a_n + b_n$ および $a_n - b_n$ を $n$ の式で表す。 設問2: n回目にAが勝つのは、n回目にAが投げて6の目が出る場合であることを踏まえて、このゲームでAが勝つ確率を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

AとBがサイコロを投げ合うゲームについて、以下の設問に答える問題です。

- 1,2,3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。

- 4,5の目が出たら、次の回には別の人が投げる。

- 6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。

設問1: n回目にAがサイコロを投げる確率を $a_n$, Bがサイコロを投げる確率を $b_n$ とする。

$a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ を求め、$a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ を $a_n$, $b_n$ を用いて表し、$a_n + b_n$ および $a_n - b_n$ を $n$ の式で表す。

設問2: n回目にAが勝つのは、n回目にAが投げて6の目が出る場合であることを踏まえて、このゲームでAが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

設問1:

ア: $a_1$ は1回目にAが投げる確率なので、$a_1 = 1$。

イ: $b_1$ は1回目にBが投げる確率なので、$b_1 = 0$。

ウ: $a_2$ は2回目にAが投げる確率。1回目にAが1,2,3の目を出す確率は $3/6 = 1/2$ なので、Aが再び投げる。また、1回目にAが4,5の目を出す確率は $2/6 = 1/3$ なので、Bが投げてAは投げない。したがって、$a_2 = (1/2) * a_1 + (0) * b_1 = 1/2$

エ: $b_2$ は2回目にBが投げる確率。1回目にAが4,5の目を出す確率は $2/6 = 1/3$ なので、Bが投げる。したがって、$b_2 = (1/3)*a_1 = 1/3$。

オ: $a_{n+1}$ は $n+1$ 回目にAが投げる確率。n回目にAが投げて1,2,3の目を出す確率は $a_n * (3/6) = a_n/2$。n回目にBが投げて4,5の目を出す確率は $b_n * (2/6) = b_n/3$。したがって、$a_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)b_n$。

カ: 上記より $1/3$

キ: $b_{n+1}$ は $n+1$ 回目にBが投げる確率。n回目にAが投げて4,5の目を出す確率は $a_n * (2/6) = a_n/3$。n回目にBが投げて1,2,3の目を出す確率は $b_n * (3/6) = b_n/2$。したがって、$b_{n+1} = (1/3)a_n + (1/2)b_n$。

ク: 上記より $1/2$

ケ: $a_n + b_n$ はn回目のゲームが行われる確率を表し、n回目までに誰も6を出していない確率である。$a_1 + b_1 = 1$。

$a_{n+1} + b_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)b_n + (1/3)a_n + (1/2)b_n = (5/6)(a_n + b_n)$ なので、$a_n + b_n = (5/6)^{n-1}$。

コ: $a_n - b_n$ について考える。$a_{n+1} - b_{n+1} = (1/2)a_n + (1/3)b_n - (1/3)a_n - (1/2)b_n = (1/6)a_n - (1/6)b_n = (1/6)(a_n - b_n)$。

したがって、$a_n - b_n = (1/6)^{n-1}(a_1 - b_1) = (1/6)^{n-1}$

設問2:

n回目にAが勝つ確率は、$a_n * (1/6)$。Aが勝つ確率は、すべてのnについて足し合わせたものなので、

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n * (1/6)$ を求める。

$a_n = \frac{(5/6)^{n-1} + (1/6)^{n-1}}{2}$ であるから、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n * (1/6) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5/6)^{n-1} + (1/6)^{n-1}}{2} * (1/6) = (1/12)\sum_{n=1}^{\infty} (5/6)^{n-1} + (1/12)\sum_{n=1}^{\infty} (1/6)^{n-1} = (1/12) * (1/(1-5/6)) + (1/12)*(1/(1-1/6)) = (1/12) * 6 + (1/12) * (6/5) = 1/2 + 1/10 = 6/10 = 3/5$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 0

ウ: 1/2

エ: 1/3

オ: 1/2

カ: 1/3

キ: 1/3

ク: 1/2

ケ: $(5/6)^{n-1}$

コ: $(1/6)^{n-1}$

Aが勝つ確率は 3/5