連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が次のように与えられている。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (x < 0, x > 2) \end{cases}$ このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ を求める。

1. 問題の内容

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が次のように与えられている。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\

0 & (x < 0, x > 2)

\end{cases}$

このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$E(X)$ を求める。$E(X)$ は確率密度関数 $f(x)$ を用いて、以下のように計算できる。

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

与えられた $f(x)$ では、$0 \le x \le 2$ の範囲で $f(x) = \frac{x}{2}$ であり、それ以外の範囲では $f(x) = 0$ であるため、積分範囲は $0$ から $2$ になる。

$E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

次に、$E(X^2)$ を求める。$E(X^2)$ は確率密度関数 $f(x)$ を用いて、以下のように計算できる。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

同様に、$0 \le x \le 2$ の範囲で $f(x) = \frac{x}{2}$ であり、それ以外の範囲では $f(x) = 0$ であるため、積分範囲は $0$ から $2$ になる。

$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{2} \frac{x^3}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

最後に、$V(X)$ を求める。$V(X)$ は分散であり、以下のように計算できる。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$E(X) = \frac{4}{3}$ であり、$E(X^2) = 2$ であるから、

$V(X) = 2 - \left( \frac{4}{3} \right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{4}{3}$

$E(X^2) = 2$

$V(X) = \frac{2}{9}$