連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられている。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (x < 0, x > 2) \end{cases}$ このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられている。

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (x < 0, x > 2) \end{cases}$

このとき、$E(X)$, $E(X^2)$, $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $E(X)$ を求める。

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_0^2 x \cdot \frac{x}{2} dx = \int_0^2 \frac{x^2}{2} dx$

$E(X) = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

(2) $E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2} dx = \int_0^2 \frac{x^3}{2} dx$

$E(X^2) = \frac{1}{2} \int_0^2 x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = 2$

(3) $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$V(X) = 2 - \left( \frac{4}{3} \right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18 - 16}{9} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{4}{3}$

$E(X^2) = 2$

$V(X) = \frac{2}{9}$