40点満点の試験の平均点が25点、標準偏差が5点のとき、各得点$x$を$2x + 20$に変換した場合の平均点と標準偏差を求めよ。

## 問題１

1. 問題の内容

40点満点の試験の平均点が25点、標準偏差が5点のとき、各得点$x$を$2x + 20$に変換した場合の平均点と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

* 平均：平均は線形変換に従う。つまり、元の平均点を$m$とすると、変換後の平均は$2m + 20$となる。

* 標準偏差：標準偏差は、定数倍の影響を受けるが、定数項の加算の影響は受けない。つまり、元の標準偏差を$s$とすると、変換後の標準偏差は$2s$となる。

元の平均は25点なので、変換後の平均は

$2 * 25 + 20 = 50 + 20 = 70$

元の標準偏差は5点なので、変換後の標準偏差は

$2 * 5 = 10$

3. 最終的な答え

* 平均: 70

* 標準偏差: 10

## 問題２

1. 問題の内容

得点$x$を$ax + b$で変換し、変換後の平均が70、標準偏差が15になるようにする定数$a$, $b$を求めよ。元の平均は25、標準偏差は5である。

2. 解き方の手順

* 平均：変換後の平均は$25a + b$となる。これが70に等しいので、$25a + b = 70$

* 標準偏差：変換後の標準偏差は$5|a|$となる。これが15に等しいので、$5|a| = 15$。したがって、$|a| = 3$。$a = 3$または$a = -3$。

まず、$a = 3$の場合を考える。

$25 * 3 + b = 70$

$75 + b = 70$

$b = 70 - 75 = -5$

次に、$a = -3$の場合を考える。

$25 * (-3) + b = 70$

$-75 + b = 70$

$b = 70 + 75 = 145$

3. 最終的な答え

* a: 3

* b: -5