ある試験を受けた高校生の中から100人を無作為抽出したところ、平均点が58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、この試験の平均点 $x$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。ただし、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。

1. 問題の内容

ある試験を受けた高校生の中から100人を無作為抽出したところ、平均点が58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、この試験の平均点 $x$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。ただし、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。

2. 解き方の手順

信頼度95%の信頼区間は、以下の式で求められます。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$は標本平均、

$\sigma$は母標準偏差、

$n$は標本サイズ、

$z_{\alpha/2}$は信頼度に対応する標準正規分布のパーセント点です。

今回は、

$\bar{x} = 58.3$

$\sigma = 13.0$

$n = 100$

信頼度95%なので、$z_{\alpha/2} = 1.96$

これらの値を上記の式に代入すると、

$58.3 - 1.96 \frac{13.0}{\sqrt{100}} \le \mu \le 58.3 + 1.96 \frac{13.0}{\sqrt{100}}$

$58.3 - 1.96 \times \frac{13.0}{10} \le \mu \le 58.3 + 1.96 \times \frac{13.0}{10}$

$58.3 - 1.96 \times 1.3 \le \mu \le 58.3 + 1.96 \times 1.3$

$58.3 - 2.548 \le \mu \le 58.3 + 2.548$

$55.752 \le \mu \le 60.848$

小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると、

$55.8 \le \mu \le 60.8$

3. 最終的な答え

$55.8 \le \mu \le 60.8$