A君は3回生春学期までに80単位を取得しており、秋学期に14科目を履修する。各科目は2単位で、単位取得率は90%である。3回生終了時点で100単位以上取得していない場合、留年が確定する。A君が留年する確率を求める。

1. 問題の内容

A君は3回生春学期までに80単位を取得しており、秋学期に14科目を履修する。各科目は2単位で、単位取得率は90%である。3回生終了時点で100単位以上取得していない場合、留年が確定する。A君が留年する確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、A君が秋学期に取得できる単位数の期待値を計算する。次に、留年しない（100単位以上取得する）ために必要な単位数を計算する。最後に、留年する確率を計算する。

秋学期に履修する科目は14科目で、1科目あたり2単位なので、秋学期に取得できる単位の最大数は $14 \times 2 = 28$ 単位である。

A君はすでに80単位を取得しているので、秋学期終了時に最大で $80 + 28 = 108$ 単位取得できる。

100単位以上取得すれば留年しないので、秋学期に $100 - 80 = 20$ 単位以上取得すれば良い。

14科目のうち、少なくとも10科目 ($20/2 = 10$) で単位を取得する必要がある。

A君が各科目で単位を取得できる確率は90%（0.9）なので、単位を取得できない確率は10%（0.1）である。

14科目中 $k$ 科目で単位を取得できる確率は、二項分布に従う。

$P(X=k) = \binom{14}{k} (0.9)^k (0.1)^{14-k}$

留年しない確率は、10科目以上で単位を取得できる確率なので、

$P(X \geq 10) = \sum_{k=10}^{14} \binom{14}{k} (0.9)^k (0.1)^{14-k}$

留年する確率は、10科目未満で単位を取得する確率なので、

$P(X < 10) = 1 - P(X \geq 10) = \sum_{k=0}^{9} \binom{14}{k} (0.9)^k (0.1)^{14-k}$

$P(X < 10)$を計算する。

$P(X=0) = \binom{14}{0} (0.9)^0 (0.1)^{14} \approx 1.00 \times 10^{-14}$

$P(X=1) = \binom{14}{1} (0.9)^1 (0.1)^{13} \approx 1.26 \times 10^{-12}$

$P(X=2) = \binom{14}{2} (0.9)^2 (0.1)^{12} \approx 7.37 \times 10^{-11}$

$P(X=3) = \binom{14}{3} (0.9)^3 (0.1)^{11} \approx 2.52 \times 10^{-9}$

$P(X=4) = \binom{14}{4} (0.9)^4 (0.1)^{10} \approx 5.90 \times 10^{-8}$

$P(X=5) = \binom{14}{5} (0.9)^5 (0.1)^{9} \approx 1.01 \times 10^{-6}$

$P(X=6) = \binom{14}{6} (0.9)^6 (0.1)^{8} \approx 1.28 \times 10^{-5}$

$P(X=7) = \binom{14}{7} (0.9)^7 (0.1)^{7} \approx 1.20 \times 10^{-4}$

$P(X=8) = \binom{14}{8} (0.9)^8 (0.1)^{6} \approx 8.41 \times 10^{-4}$

$P(X=9) = \binom{14}{9} (0.9)^9 (0.1)^{5} \approx 4.20 \times 10^{-3}$

$P(X < 10) = \sum_{k=0}^{9} P(X=k) \approx 0.00518$

3. 最終的な答え

A君が留年する確率は約0.00518、つまり約0.518%です。