表1に示された商品Xと商品Yの売上個数データに基づき、以下の問いに答える問題です。 (1) XとYの相関係数を求めます。 (2) 土曜日の売上個数データ(X=14, Y=16)を追加した場合の変化について考察します。 (i) 土曜日のデータの偏差を求めます。 (ii) 土曜日のデータを追加した場合の、XとYの偏差の2乗の和、標準偏差、共分散の変化について答えます。 (iii) 土曜日を除いた5日間の相関係数Uと、土曜日を含めた6日間の相関係数Vの関係について答えます。

1. 問題の内容

表1に示された商品Xと商品Yの売上個数データに基づき、以下の問いに答える問題です。

(1) XとYの相関係数を求めます。

(2) 土曜日の売上個数データ(X=14, Y=16)を追加した場合の変化について考察します。

(i) 土曜日のデータの偏差を求めます。

(ii) 土曜日のデータを追加した場合の、XとYの偏差の2乗の和、標準偏差、共分散の変化について答えます。

(iii) 土曜日を除いた5日間の相関係数Uと、土曜日を含めた6日間の相関係数Vの関係について答えます。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数 $r$ は、共分散 $S_{xy}$ をXとYの標準偏差 $S_x$、$S_y$ の積で割ったものです。

$r = \frac{S_{xy}}{S_x S_y}$

問題文より、$S_{xy} = 2.8$, $S_x = 1.4$, $S_y = 2.8$ であるから、

$r = \frac{2.8}{1.4 \times 2.8} = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \fallingdotseq 0.714$

(2)

(i) 偏差は、それぞれの値から平均値を引いたものです。表1より、Xの平均は14, Yの平均は16です。土曜日のデータはX=14, Y=16なので、Xの偏差は $14-14=0$, Yの偏差は $16-16=0$ です。

(ii) 土曜日のデータを追加すると、XとYの平均は変わりません。したがって、偏差の2乗の和も変わりません。標準偏差も変わりません。共分散も変わりません。

(iii) 土曜日を追加しても、平均、標準偏差、共分散が変わらないので、相関係数も変わりません。

3. 最終的な答え

(1) ア: ② (0.7)

(2)

(i) イ: 0

(ii) ウ: ② (変わらない), エ: ② (変わらない), オ: ② (変わらない)

(iii) カ: ① (U=V)