5肢選択の問題が30問出題され、受験生は25問を選択して解答します。B君にとっての問題の難易度が以下のように与えられたとき、B君の正答数の期待値を求めます。 * 確実に正答がわかる問題：10問 * 5つの選択肢のうち、3つが誤答とわかる問題：5問 * 5つの選択肢のうち、2つが誤答とわかる問題：5問 * 全くわからない問題：10問

1. 問題の内容

5肢選択の問題が30問出題され、受験生は25問を選択して解答します。B君にとっての問題の難易度が以下のように与えられたとき、B君の正答数の期待値を求めます。

* 確実に正答がわかる問題：10問

* 5つの選択肢のうち、3つが誤答とわかる問題：5問

* 5つの選択肢のうち、2つが誤答とわかる問題：5問

* 全くわからない問題：10問

2. 解き方の手順

まず、B君が解く問題の選び方を考えます。B君は正答数の期待値を最大化するように問題を選択するので、確実に正答がわかる問題から優先的に選びます。

1. 確実に正答がわかる問題をすべて選びます：10問

2. 次に、選択肢を絞れる問題を選びます。3つの選択肢を消せる問題と2つの選択肢を消せる問題のどちらを優先するかを考えます。3つの選択肢を消せる問題は正解確率が$\frac{1}{2}$、2つの選択肢を消せる問題は正解確率が$\frac{1}{3}$です。したがって、3つの選択肢を消せる問題を優先的に選びます。

3. 3つの選択肢を消せる問題をすべて選びます：5問

4. 2つの選択肢を消せる問題をすべて選びます：5問

5. ここまでで、10 + 5 + 5 = 20問を選びました。残りの5問は全くわからない問題から選びます：5問

次に、それぞれの問題における正答数の期待値を計算します。

1. 確実に正答がわかる問題：10問（正答数10）

2. 3つの選択肢を消せる問題：5問（正答率$\frac{1}{2}$なので、正答数の期待値は$5 \times \frac{1}{2} = 2.5$）

3. 2つの選択肢を消せる問題：5問（正答率$\frac{1}{3}$なので、正答数の期待値は$5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$）

4. 全くわからない問題：5問（正答率$\frac{1}{5}$なので、正答数の期待値は$5 \times \frac{1}{5} = 1$）

したがって、B君の正答数の期待値は、

$10 + 2.5 + \frac{5}{3} + 1 = 13.5 + \frac{5}{3} = \frac{40.5 + 5}{3} = \frac{45.5}{3} = \frac{91}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{91}{6}$