以下の3つの関数 $f(x)$ について、極値を求め、極値をとる $x$ の値を求めよ。 (1) $f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$ (2) $f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}$ (3) $f(x) = \{x(x-1)\}^{\frac{2}{3}}(2-x)$

1. 問題の内容

以下の3つの関数 $f(x)$ について、極値を求め、極値をとる $x$ の値を求めよ。

(1) $f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$

(2) $f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}$

(3) $f(x) = \{x(x-1)\}^{\frac{2}{3}}(2-x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sqrt{3} \arctan x - 2 \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$ の場合：

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = \sqrt{3} \frac{1}{1+x^2} - 2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + \frac{x^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{3}{3+x^2} = \frac{\sqrt{3}}{1+x^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3+x^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{\sqrt{3}}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3+x^2}$

$3+x^2 = 2(1+x^2)$

$3+x^2 = 2+2x^2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \sqrt{3} (-1)(1+x^2)^{-2} \cdot 2x - 2\sqrt{3}(-1)(3+x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2\sqrt{3}x}{(1+x^2)^2} + \frac{4\sqrt{3}x}{(3+x^2)^2}$

$x = 1$ のとき、 $f''(1) = -\frac{2\sqrt{3}}{(2)^2} + \frac{4\sqrt{3}}{(4)^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{4} < 0$. よって、$x = 1$ で極大値をとる。

$x = -1$ のとき、 $f''(-1) = -\frac{-2\sqrt{3}}{(2)^2} + \frac{-4\sqrt{3}}{(4)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} > 0$. よって、$x = -1$ で極小値をとる。

$f(1) = \sqrt{3} \arctan(1) - 2 \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} \pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{(3\sqrt{3} - 4)\pi}{12}$.

$f(-1) = \sqrt{3} \arctan(-1) - 2 \arctan(\frac{-1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\pi}{4}) - 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3} \pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{(4 - 3\sqrt{3})\pi}{12}$.

(2) $f(x) = \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}$ の場合：

$f(x) = ((x-1)(x-2)^2)^{1/3}$

$f'(x) = \frac{1}{3} ((x-1)(x-2)^2)^{-2/3} ((x-2)^2 + (x-1)2(x-2)) = \frac{1}{3} ((x-1)(x-2)^2)^{-2/3} (x-2)(x-2 + 2x - 2) = \frac{1}{3} ((x-1)(x-2)^2)^{-2/3} (x-2)(3x-4)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = 2$ または $x = \frac{4}{3}$。また、$x = 1$ で微分不可能。

$x<1$のとき、$f'(x)>0$. $1<x<4/3$のとき、$f'(x)>0$. $4/3<x<2$のとき、$f'(x)<0$. $x>2$のとき、$f'(x)>0$.

したがって、$x = 4/3$ で極大、$x = 2$ で極小、$x=1$で極小。

$f(4/3) = \sqrt[3]{(\frac{4}{3} - 1)(\frac{4}{3} - 2)^2} = \sqrt[3]{(\frac{1}{3})(\frac{-2}{3})^2} = \sqrt[3]{\frac{4}{27 \cdot 3}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$

$f(2) = 0$

$f(1) = 0$

(3) $f(x) = \{x(x-1)\}^{\frac{2}{3}}(2-x)$ の場合：

$f(x) = (x^2-x)^{\frac{2}{3}}(2-x)$

$f'(x) = \frac{2}{3}(x^2-x)^{-\frac{1}{3}}(2x-1)(2-x) + (x^2-x)^{\frac{2}{3}}(-1) = (x^2-x)^{-\frac{1}{3}} [\frac{2}{3}(2x-1)(2-x) - (x^2-x)]$

$f'(x) = (x^2-x)^{-\frac{1}{3}} [\frac{2}{3}(-2x^2+5x-2) - x^2+x] = (x^2-x)^{-\frac{1}{3}} [\frac{-4x^2+10x-4}{3} - \frac{3x^2-3x}{3}]$

$f'(x) = \frac{1}{3} (x^2-x)^{-\frac{1}{3}} (-7x^2 + 13x - 4)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$-7x^2 + 13x - 4 = 0$.

$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 4(-7)(-4)}}{-14} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 112}}{-14} = \frac{-13 \pm \sqrt{57}}{-14} = \frac{13 \pm \sqrt{57}}{14}$

$x=0,1$ で微分不可能

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$ で極大値 $\frac{(3\sqrt{3} - 4)\pi}{12}$

$x = -1$ で極小値 $\frac{(4 - 3\sqrt{3})\pi}{12}$

(2) $x = 4/3$ で極大値 $\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$

$x = 1$ で極小値 $0$

$x = 2$ で極小値 $0$

(3) $x = \frac{13 + \sqrt{57}}{14}$ で極大値

$x = \frac{13 - \sqrt{57}}{14}$ で極小値

$x = 0, 1$ で定義されない。