次の関数を微分しなさい。ただし、$a>0$、$a \neq 1$とします。 (1) $y = e^{-x^2}$ (2) $y = 2^{3x}$ (3) $y = a^{x^2+1}$ (4) $y = (x-1)e^x$ (5) $y = e^{2x}\cos{3x}$ (6) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数を微分しなさい。ただし、$a>0$、$a \neq 1$とします。

(1) $y = e^{-x^2}$

(2) $y = 2^{3x}$

(3) $y = a^{x^2+1}$

(4) $y = (x-1)e^x$

(5) $y = e^{2x}\cos{3x}$

(6) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

2. 解き方の手順

各問題について、微分を計算する手順を説明します。

(1) $y = e^{-x^2}$

合成関数の微分を使います。$u = -x^2$とすると、$y = e^u$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-2x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)$

$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}$

(2) $y = 2^{3x}$

$y = a^u$の微分は$\frac{dy}{dx} = a^u \ln{a} \frac{du}{dx}$です。

$u = 3x$とすると、$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = 2^{3x} \ln{2} \cdot 3 = 3 \ln{2} \cdot 2^{3x}$

(3) $y = a^{x^2+1}$

$u = x^2+1$とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = a^{x^2+1} \ln{a} \cdot 2x = 2x \ln{a} \cdot a^{x^2+1}$

(4) $y = (x-1)e^x$

積の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = (x-1)' e^x + (x-1) (e^x)' = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = e^x + xe^x - e^x = xe^x$

(5) $y = e^{2x}\cos{3x}$

積の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \cos{3x} + e^{2x} (\cos{3x})' = 2e^{2x} \cos{3x} + e^{2x} (-3\sin{3x}) = 2e^{2x} \cos{3x} - 3e^{2x} \sin{3x} = e^{2x} (2\cos{3x} - 3\sin{3x})$

(6) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

商の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x - e^{-x})'(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})'}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3 \ln{2} \cdot 2^{3x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2x \ln{a} \cdot a^{x^2+1}$

(4) $\frac{dy}{dx} = xe^x$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{2x} (2\cos{3x} - 3\sin{3x})$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$