関数 $y = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{x^2+1}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{x^2+1}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。ここで、

$u = e^{\sqrt{2x+1}}$、 $v = x^2+1$ とする。

次に、$u$ と $v$ それぞれの導関数を求める。

$v' = 2x$

$u' = \frac{d}{dx} e^{\sqrt{2x+1}}$ なので、合成関数の微分を行う。

$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ より、

$u' = e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{2x+1}$

さらに $\frac{d}{dx} \sqrt{2x+1}$ を計算する。

$\sqrt{2x+1} = (2x+1)^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\frac{d}{dx} (2x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

よって、$u' = e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

商の微分公式に $u, v, u', v'$ を代入する。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{e^{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \cdot (x^2+1) - e^{\sqrt{2x+1}} \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{e^{\sqrt{2x+1}} \left( \frac{x^2+1}{\sqrt{2x+1}} - 2x \right)}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{e^{\sqrt{2x+1}} (x^2+1 - 2x\sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x+1}(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^{\sqrt{2x+1}} (x^2+1 - 2x\sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x+1}(x^2+1)^2}$