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$\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求めよ。

解析学逆三角関数三角関数方程式
2025/5/15

1. 問題の内容

sin⁡−1x−cos⁡−1x=sin⁡−112\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{2} を満たす xx を求めよ。

2. 解き方の手順

sin⁡−112\sin^{-1}\frac{1}{2} の値は π6\frac{\pi}{6} であるから、与えられた方程式は
sin⁡−1x−cos⁡−1x=π6\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \frac{\pi}{6}
ここで、cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x であるから、これを代入すると
sin⁡−1x−(π2−sin⁡−1x)=π6\sin^{-1}x - \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x\right) = \frac{\pi}{6}
2sin⁡−1x−π2=π62\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}
2sin⁡−1x=π6+π2=π6+3π6=4π6=2π32\sin^{-1}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
sin⁡−1x=π3\sin^{-1}x = \frac{\pi}{3}
x=sin⁡(π3)=32x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

3. 最終的な答え

32\frac{\sqrt{3}}{2}

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