$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(2x)$ と $\tan(3x)$ は $x \to 0$ のとき、どちらも 0 に近づきます。したがって、この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ となります。ロピタルの定理を使うか、あるいは $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ の性質を利用して極限を計算します。

$\sin^{-1}(2x)$ について、$x \to 0$ のとき $\sin^{-1}(2x) \approx 2x$ と近似できます。

$\tan(3x)$ について、$x \to 0$ のとき $\tan(3x) \approx 3x$ と近似できます。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$$

別解として、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\sin^{-1}(2x)$ の微分は $\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$ です。

$\tan(3x)$ の微分は $\frac{3}{\cos^2(3x)} = 3 \sec^2(3x)$ です。

よって、ロピタルの定理より、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{3 \sec^2(3x)} = \frac{\frac{2}{\sqrt{1-0}}}{3 \sec^2(0)} = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$