与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = x^2 - 1 + \int_0^1 tf(t) dt$ (2) $f(x) = 3x + \int_0^1 (x+t)f(t) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = x^2 - 1 + \int_0^1 tf(t) dt$

(2) $f(x) = 3x + \int_0^1 (x+t)f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1) まず、積分 $\int_0^1 tf(t) dt$ は定数なので、$A = \int_0^1 tf(t) dt$ とおきます。

すると、$f(x) = x^2 - 1 + A$ となります。

次に、$A$ の定義に $f(t) = t^2 - 1 + A$ を代入して、$A$ について解きます。

$A = \int_0^1 t(t^2 - 1 + A) dt = \int_0^1 (t^3 - t + At) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2} + \frac{At^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{A}{2}$

$A = -\frac{1}{4} + \frac{A}{2}$

$\frac{A}{2} = -\frac{1}{4}$

$A = -\frac{1}{2}$

したがって、$f(x) = x^2 - 1 - \frac{1}{2} = x^2 - \frac{3}{2}$

(2) まず、積分 $\int_0^1 (x+t)f(t) dt$ を分解します。

$\int_0^1 (x+t)f(t) dt = x \int_0^1 f(t) dt + \int_0^1 tf(t) dt$

$B = \int_0^1 f(t) dt$, $C = \int_0^1 tf(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x + Bx + C = (3+B)x + C$ となります。

次に、$B$ と $C$ の定義に $f(t) = (3+B)t + C$ を代入して、$B$ と $C$ について解きます。

$B = \int_0^1 ((3+B)t + C) dt = \left[ \frac{(3+B)t^2}{2} + Ct \right]_0^1 = \frac{3+B}{2} + C$

$2B = 3 + B + 2C$

$B = 3 + 2C$

$C = \int_0^1 t((3+B)t + C) dt = \int_0^1 ((3+B)t^2 + Ct) dt = \left[ \frac{(3+B)t^3}{3} + \frac{Ct^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3+B}{3} + \frac{C}{2}$

$6C = 2(3+B) + 3C$

$3C = 6 + 2B$

$B = 3 + 2C$ を $3C = 6 + 2B$ に代入して

$3C = 6 + 2(3 + 2C) = 6 + 6 + 4C$

$-C = 12$

$C = -12$

$B = 3 + 2(-12) = 3 - 24 = -21$

したがって、$f(x) = (3 + (-21))x + (-12) = -18x - 12$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 - \frac{3}{2}$

(2) $f(x) = -18x - 12$