関数 $y = [\ln(\sqrt{x^2+1})]^4$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = [\ln(\sqrt{x^2+1})]^4$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数は合成関数であるため、連鎖律（チェインルール）を繰り返し適用して導関数を求める。

まず、$y = u^4$ とおくと、$\frac{dy}{du} = 4u^3$。ここで、

$u = \ln(\sqrt{x^2+1})$ である。

次に、$v = \sqrt{x^2+1}$ とおくと、$u = \ln(v)$ であり、$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$。

最後に、$w = x^2+1$ とおくと、$v = \sqrt{w} = w^{1/2}$ であり、$\frac{dv}{dw} = \frac{1}{2}w^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{w}}$。

また、$\frac{dw}{dx} = 2x$。

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot \frac{1}{v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot 2x$

それぞれの変数をもとに戻すと、

$\frac{dy}{dx} = 4 [\ln(\sqrt{x^2+1})]^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = 4 [\ln(\sqrt{x^2+1})]^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{4x [\ln(\sqrt{x^2+1})]^3}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x [\ln(\sqrt{x^2+1})]^3}{x^2+1}$