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与えられた関数を微分せよ。 (1) $y = \tan 2x \cos 2x$ (2) $y = \cot \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}$ (3) $y = \sin^2 3x \csc 3x$ (4) $y = \sec \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}$ (5) $y = \tan^2 \frac{x}{4} \cot \frac{x}{4}$ (6) $y = \frac{\tan 4x}{\sec 4x}$ (7) $y = \frac{\cot 5x}{\csc 5x}$ (8) $y = \frac{\sec \frac{x}{5}}{\csc \frac{x}{5}}$

解析学微分三角関数合成関数の微分
2025/5/15
## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。
(1) y=tan⁡2xcos⁡2xy = \tan 2x \cos 2x
(2) y=cot⁡x2sin⁡x2y = \cot \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}
(3) y=sin⁡23xcsc⁡3xy = \sin^2 3x \csc 3x
(4) y=sec⁡x3cos⁡2x3y = \sec \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}
(5) y=tan⁡2x4cot⁡x4y = \tan^2 \frac{x}{4} \cot \frac{x}{4}
(6) y=tan⁡4xsec⁡4xy = \frac{\tan 4x}{\sec 4x}
(7) y=cot⁡5xcsc⁡5xy = \frac{\cot 5x}{\csc 5x}
(8) y=sec⁡x5csc⁡x5y = \frac{\sec \frac{x}{5}}{\csc \frac{x}{5}}

2. 解き方の手順

(1) y=tan⁡2xcos⁡2x=sin⁡2xcos⁡2xcos⁡2x=sin⁡2xy = \tan 2x \cos 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cos 2x = \sin 2x。
y′=2cos⁡2xy' = 2\cos 2x
(2) y=cot⁡x2sin⁡x2=cos⁡x2sin⁡x2sin⁡x2=cos⁡x2y = \cot \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}
y′=−12sin⁡x2y' = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}
(3) y=sin⁡23xcsc⁡3x=sin⁡23x1sin⁡3x=sin⁡3xy = \sin^2 3x \csc 3x = \sin^2 3x \frac{1}{\sin 3x} = \sin 3x
y′=3cos⁡3xy' = 3\cos 3x
(4) y=sec⁡x3cos⁡2x3=1cos⁡x3cos⁡2x3=cos⁡x3y = \sec \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{\cos \frac{x}{3}} \cos^2 \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3}
y′=−13sin⁡x3y' = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}
(5) y=tan⁡2x4cot⁡x4=tan⁡2x41tan⁡x4=tan⁡x4y = \tan^2 \frac{x}{4} \cot \frac{x}{4} = \tan^2 \frac{x}{4} \frac{1}{\tan \frac{x}{4}} = \tan \frac{x}{4}
y′=14sec⁡2x4=14cos⁡2x4y' = \frac{1}{4} \sec^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4 \cos^2 \frac{x}{4}}
(6) y=tan⁡4xsec⁡4x=sin⁡4xcos⁡4xcos⁡4x=sin⁡4xy = \frac{\tan 4x}{\sec 4x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} \cos 4x = \sin 4x
y′=4cos⁡4xy' = 4\cos 4x
(7) y=cot⁡5xcsc⁡5x=cos⁡5xsin⁡5xsin⁡5x=cos⁡5xy = \frac{\cot 5x}{\csc 5x} = \frac{\cos 5x}{\sin 5x} \sin 5x = \cos 5x
y′=−5sin⁡5xy' = -5\sin 5x
(8) y=sec⁡x5csc⁡x5=cos⁡x5sin⁡x5=cot⁡x5y = \frac{\sec \frac{x}{5}}{\csc \frac{x}{5}} = \frac{\cos \frac{x}{5}}{\sin \frac{x}{5}} = \cot \frac{x}{5}
y′=−15csc⁡2x5=−15sin⁡2x5y' = -\frac{1}{5} \csc^2 \frac{x}{5} = -\frac{1}{5 \sin^2 \frac{x}{5}}

3. 最終的な答え

(1) y′=2cos⁡2xy' = 2\cos 2x
(2) y′=−12sin⁡x2y' = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}
(3) y′=3cos⁡3xy' = 3\cos 3x
(4) y′=−13sin⁡x3y' = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}
(5) y′=14sec⁡2x4=14cos⁡2x4y' = \frac{1}{4} \sec^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4 \cos^2 \frac{x}{4}}
(6) y′=4cos⁡4xy' = 4\cos 4x
(7) y′=−5sin⁡5xy' = -5\sin 5x
(8) y′=−15csc⁡2x5=−15sin⁡2x5y' = -\frac{1}{5} \csc^2 \frac{x}{5} = -\frac{1}{5 \sin^2 \frac{x}{5}}

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