与えられた曲線について、$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$を求める問題です。曲線は以下の2種類です。 (1) 円： $x = a\cos\theta$, $y = a\sin\theta$ ($a>0$) (2) サイクロイド曲線： $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1 - \cos\theta)$ ($a>0$)

1. 問題の内容

与えられた曲線について、$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$を求める問題です。曲線は以下の2種類です。

(1) 円：

$x = a\cos\theta$, $y = a\sin\theta$ ($a>0$)

(2) サイクロイド曲線：

$x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1 - \cos\theta)$ ($a>0$)

2. 解き方の手順

(1) 円の場合：

$\frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = a\cos\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\cos\theta}{-a\sin\theta} = -\cot\theta$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{d\theta}{dx}$

$\frac{d}{d\theta}(-\cot\theta) = \csc^2\theta$

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a\sin\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \csc^2\theta \cdot \frac{1}{-a\sin\theta} = -\frac{1}{a\sin^3\theta}$

(2) サイクロイド曲線の場合：

$\frac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin\theta}{a(1-\cos\theta)} = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)} = \cot(\theta/2)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{d\theta}{dx}$

$\frac{d}{d\theta}(\cot(\theta/2)) = -\frac{1}{2}\csc^2(\theta/2)$

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{a(1-\cos\theta)} = \frac{1}{2a\sin^2(\theta/2)}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2}\csc^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2a\sin^2(\theta/2)} = -\frac{1}{4a\sin^4(\theta/2)}$

3. 最終的な答え

(1) 円：

$\frac{dy}{dx} = -\cot\theta$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{a\sin^3\theta}$

(2) サイクロイド曲線：

$\frac{dy}{dx} = \cot(\theta/2)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4a\sin^4(\theta/2)}$