定積分 $\int_0^4 |x^2-9| \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^4 |x^2-9| \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、まず $x^2-9$ の符号を調べる。

$x^2-9 = 0$ となるのは $x = \pm 3$ のとき。

区間 $0 \le x \le 4$ で考えると、

$0 \le x \le 3$ のとき $x^2 - 9 \le 0$ なので $|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -x^2 + 9$。

$3 \le x \le 4$ のとき $x^2 - 9 \ge 0$ なので $|x^2 - 9| = x^2 - 9$。

したがって、積分を2つに分割する。

$\int_0^4 |x^2-9| \, dx = \int_0^3 (-x^2+9) \, dx + \int_3^4 (x^2-9) \, dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_0^3 (-x^2+9) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 9x \right]_0^3 = -\frac{3^3}{3} + 9(3) - (0) = -9 + 27 = 18$

$\int_3^4 (x^2-9) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 9x \right]_3^4 = \left(\frac{4^3}{3} - 9(4) \right) - \left( \frac{3^3}{3} - 9(3) \right) = \frac{64}{3} - 36 - (9 - 27) = \frac{64}{3} - 36 + 18 = \frac{64}{3} - 18 = \frac{64 - 54}{3} = \frac{10}{3}$

よって、$\int_0^4 |x^2-9| \, dx = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$