不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を考える。

(1) $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}}$ は常に正なので、不等式が成り立つためには $\cos x > 0$ である必要がある。

(2) 両辺を2乗すると、

$$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$$

$$\sin^2 x + \frac{1}{2} < 1 - \sin^2 x$$

$$2\sin^2 x < \frac{1}{2}$$

$$\sin^2 x < \frac{1}{4}$$

$$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$$

(3) $0 \le x < 2\pi$ において、$\cos x > 0$ かつ $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は、

$\frac{11\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

$\cos x > 0$ となる $x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$

したがって、これらを同時に満たす $x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ と $\frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$ はありえないので無視できる．

よって、答えは

$\frac{11\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{11\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$