与えられた積分 $\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

$u = 1 + \sin(5x)$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = 5\cos(5x)$ となり、$du = 5\cos(5x)dx$ となります。

したがって、$\cos(5x)dx = \frac{1}{5} du$ となります。

与えられた積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{u}$ の積分は $\ln|u|$ なので、

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} \ln|u| + C$

最後に、$u = 1 + \sin(5x)$ を代入して、

$\frac{1}{5} \ln|1 + \sin(5x)| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} \ln|1 + \sin(5x)| + C$