与えられた積分 $\int x\sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{1+x^2} \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を用います。

$u = 1 + x^2$ とおくと、$du = 2x \, dx$ となります。

したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int x\sqrt{1+x^2} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = 1 + x^2$ を代入すると、

$\frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$