与えられた積分の問題を解きます。 積分は以下の通りです。 $\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は以下の通りです。

$\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分を使用します。

ステップ1: $u = x^2 + 1$ と置換します。

ステップ2: $du = 2x dx$ を計算します。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

ステップ3: 置換を適用して、積分を書き換えます。

$\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} du$

ステップ4: 積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C$

ステップ5: $u$ を元の変数 $x$ に戻します。

$-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは以下の通りです。

$-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$