与えられた積分を計算します。積分は $\int x \sqrt{1+x^2} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int x \sqrt{1+x^2} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を用いて解くことができます。

ステップ1: 置換を行う。

$u = 1 + x^2$ と置きます。

ステップ2: 微分を計算する。

$du = 2x dx$

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

ステップ3: 積分を書き換える。

元の積分は $\int x \sqrt{1+x^2} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} du$ となります。

ステップ4: 積分を実行する。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ5: $u$ を $x$ に戻す。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $\frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$ です。