$\int \sin(5\theta)\cos(5\theta) d\theta$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sin(5\theta)\cos(5\theta) d\theta$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の積の積分なので、三角関数の積和の公式を利用して計算します。

$\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

この公式を適用すると、

$\sin(5\theta)\cos(5\theta) = \frac{1}{2}[\sin(5\theta+5\theta) + \sin(5\theta-5\theta)] = \frac{1}{2}[\sin(10\theta) + \sin(0)] = \frac{1}{2}\sin(10\theta)$

したがって、

$\int \sin(5\theta)\cos(5\theta) d\theta = \int \frac{1}{2}\sin(10\theta) d\theta$

$\int \frac{1}{2}\sin(10\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int \sin(10\theta) d\theta$

ここで、$\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$ を利用すると、

$\frac{1}{2} \int \sin(10\theta) d\theta = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{10}\cos(10\theta) \right) + C = -\frac{1}{20}\cos(10\theta) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{20}\cos(10\theta) + C$