-15°=30°-45°を用いて、次の三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin(-15^\circ)$ (2) $\cos(-15^\circ)$ (3) $\tan(-15^\circ)$

1. 問題の内容

-15°=30°-45°を用いて、次の三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin(-15^\circ)$

(2) $\cos(-15^\circ)$

(3) $\tan(-15^\circ)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(-15^\circ)$について

加法定理 $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$を用いる。

$A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$とすると、

$\sin(-15^\circ) = \sin(30^\circ - 45^\circ) = \sin 30^\circ \cos 45^\circ - \cos 30^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入すると

$\sin(-15^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(-15^\circ)$について

加法定理 $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$を用いる。

$A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$とすると、

$\cos(-15^\circ) = \cos(30^\circ - 45^\circ) = \cos 30^\circ \cos 45^\circ + \sin 30^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入すると

$\cos(-15^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan(-15^\circ)$について

$\tan(-15^\circ) = \frac{\sin(-15^\circ)}{\cos(-15^\circ)}$を用いる。

$\tan(-15^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

$= \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{6})} = \frac{2 - 2\sqrt{12} + 6}{2-6} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{-4} = -2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(-15^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(-15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan(-15^\circ) = -2 + \sqrt{3}$