$195^\circ = 135^\circ + 60^\circ$ を用いて、以下の三角関数の値を求めよ。 (1) $\sin 195^\circ$ (2) $\cos 195^\circ$ (3) $\tan 195^\circ$

1. 問題の内容

$195^\circ = 135^\circ + 60^\circ$ を用いて、以下の三角関数の値を求めよ。

(1) $\sin 195^\circ$

(2) $\cos 195^\circ$

(3) $\tan 195^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 195^\circ$ の場合：

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いる。

$A = 135^\circ, B = 60^\circ$ とすると、

$\sin 195^\circ = \sin (135^\circ + 60^\circ) = \sin 135^\circ \cos 60^\circ + \cos 135^\circ \sin 60^\circ$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos 195^\circ$ の場合：

加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いる。

$A = 135^\circ, B = 60^\circ$ とすると、

$\cos 195^\circ = \cos (135^\circ + 60^\circ) = \cos 135^\circ \cos 60^\circ - \sin 135^\circ \sin 60^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$\cos 195^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 195^\circ$ の場合：

$\tan 195^\circ = \frac{\sin 195^\circ}{\cos 195^\circ}$ を用いる。

$\tan 195^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{-(\sqrt{2}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6-2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos 195^\circ = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 195^\circ = 2 - \sqrt{3}$