問題1は三角関数の周期を求める問題です。 (1) $cos(\frac{1}{2}x)$ の周期を求めます。 (2) $sin(\pi x)$ の周期を求めます。 (3) $tan(2x)$ の周期を求めます。 問題2は $tan(x) = -2$ のときの $sin(x)$ と $cos(x)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は三角関数の周期を求める問題です。

(1) $cos(\frac{1}{2}x)$ の周期を求めます。

(2) $sin(\pi x)$ の周期を求めます。

(3) $tan(2x)$ の周期を求めます。

問題2は $tan(x) = -2$ のときの $sin(x)$ と $cos(x)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $cos(x)$ の周期は $2\pi$ です。$cos(ax)$ の周期は $\frac{2\pi}{|a|}$ です。よって、$cos(\frac{1}{2}x)$ の周期は $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$ です。

(2) $sin(x)$ の周期は $2\pi$ です。$sin(ax)$ の周期は $\frac{2\pi}{|a|}$ です。よって、$sin(\pi x)$ の周期は $\frac{2\pi}{\pi} = 2$ です。

(3) $tan(x)$ の周期は $\pi$ です。$tan(ax)$ の周期は $\frac{\pi}{|a|}$ です。よって、$tan(2x)$ の周期は $\frac{\pi}{2}$ です。

問題2:

$tan(x) = -2$ より、$\frac{sin(x)}{cos(x)} = -2$ なので、 $sin(x) = -2cos(x)$ が成り立ちます。

また、$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ が成り立ちます。

$(-2cos(x))^2 + cos^2(x) = 1$

$4cos^2(x) + cos^2(x) = 1$

$5cos^2(x) = 1$

$cos^2(x) = \frac{1}{5}$

$cos(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$cos(x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$sin(x) = -2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$cos(x) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$sin(x) = -2 \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $4\pi$

(2) $2$

(3) $\frac{\pi}{2}$

問題2:

$(sin(x), cos(x)) = (-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}), (\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$