与えられた積分 $\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を使います。

$u = x^2 + 4$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分を $u$ で書き換えると次のようになります。

$\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$

次に、べき乗則を使って積分します。

$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C$

ここで、$u = x^2 + 4$ を代入して、元の変数に戻します。

$-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2+4)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{(x^2+4)^2} dx = -\frac{1}{2(x^2+4)} + C$