与えられた積分の計算: $\int x e^{x^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の計算: $\int x e^{x^3} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、初等関数では表せないことが知られています。つまり、基本的な関数（多項式、指数関数、三角関数など）の組み合わせで表すことができません。これは、積分が非初等的であると言います。そのため、特殊関数を用いるか、近似解を求める必要があります。

この問題では、初等関数による厳密解が存在しないため、特殊関数を用いるか、あるいは数値積分などの近似的な方法を用いることになります。

ただし、問題文では初等関数で表せないことを特に言及していないため、誤植である可能性も考慮し、$x^3$を$x^2$と仮定して計算してみます。

$\int x e^{x^2} dx$

置換積分を行います。$u = x^2$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $dx = \frac{du}{2x}$ です。

したがって、

$\int x e^{x^2} dx = \int x e^u \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^u du$

$\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$

ここで、$u = x^2$ に戻すと、

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

もし、$x^3$が正しければ、解くことは非常に難しくなります。もし、$x^3$が$x^2$の誤りであったとしたら、上記の解き方が可能です。

3. 最終的な答え

もし問題が $\int x e^{x^2} dx$ であれば、答えは $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$ です。

$\int x e^{x^3} dx$ であれば、初等関数で表すことはできません。