$\int (\log x)^2 dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int (\log x)^2 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解く。

まず、$u = (\log x)^2$、$dv = dx$ とおく。すると、$du = 2 (\log x) \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となる。

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 (\log x) \frac{1}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分を用いて計算する。$u = \log x$、$dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となる。

したがって、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

これを用いると、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

3. 最終的な答え

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$