(1) $ \int_{0}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx $ を計算する。 (2) $ \int_{-3}^{4} |x^2 - 4| - x^2 + 2 dx $ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\int_{0}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx$ を計算する。

(2) $\int_{-3}^{4} |x^2 - 4| - x^2 + 2 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ であるから、$x^2 - 3x + 2 = 0$ となるのは $x = 1, 2$ のとき。

$0 \le x \le 1$ のとき、$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

$1 \le x \le 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 \le 0$

$2 \le x \le 3$ のとき、$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

したがって、

\begin{align*}

\int_{0}^{3} |x^2 - 3x + 2| dx &= \int_{0}^{1} (x^2 - 3x + 2) dx + \int_{1}^{2} -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 3x + 2) dx \\

&= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_0^1 - \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_1^2 + \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_2^3 \\

&= \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) + \left( 9 - \frac{27}{2} + 6 - \frac{8}{3} + 6 - 4 \right) \\

&= \frac{2 - 9 + 12}{6} - \left( \frac{7}{3} - \frac{7}{2} + 2 \right) + \left( 11 - \frac{27}{2} - \frac{8}{3} \right) \\

&= \frac{5}{6} - \left( \frac{14 - 21 + 12}{6} \right) + \frac{66 - 81 - 16}{6} \\

&= \frac{5}{6} - \frac{5}{6} + \frac{-31}{6} \\

&= \frac{17}{6}

\end{align*}

(2)

$x^2 - 4 = 0$ となるのは $x = \pm 2$ のとき。

$-3 \le x \le -2$ のとき、$x^2 - 4 \ge 0$

$-2 \le x \le 2$ のとき、$x^2 - 4 \le 0$

$2 \le x \le 4$ のとき、$x^2 - 4 \ge 0$

したがって、

\begin{align*}

\int_{-3}^{4} |x^2 - 4| - x^2 + 2 dx &= \int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) - x^2 + 2 dx + \int_{-2}^{2} -(x^2 - 4) - x^2 + 2 dx + \int_{2}^{4} (x^2 - 4) - x^2 + 2 dx \\

&= \int_{-3}^{-2} -2 dx + \int_{-2}^{2} -2x^2 + 6 dx + \int_{2}^{4} -2 dx \\

&= [-2x]_{-3}^{-2} + \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 6x \right]_{-2}^{2} + [-2x]_{2}^{4} \\

&= -2(-2) - (-2)(-3) + \left( -\frac{16}{3} + 12 - \frac{16}{3} + 12 \right) + (-2)(4) - (-2)(2) \\

&= 4 - 6 + \left( -\frac{32}{3} + 24 \right) + (-8) + 4 \\

&= -2 + 24 - \frac{32}{3} - 4 \\

&= 18 - \frac{32}{3} = \frac{54 - 32}{3} = \frac{22}{3}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{17}{6}$

(2) $\frac{22}{3}$