## 回答

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1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ (30度) のとき、$x$ の値を求める問題です。

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2. 解き方の手順

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義から

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

が成り立ちます。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\vec{a} = (2, -1, 1)$、$\vec{b} = (x-2, -x, 4)$、$\theta = \frac{\pi}{6}$ をそれぞれ代入します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(x-2) + (-1)(-x) + 1(4) = 2x - 4 + x + 4 = 3x$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(x-2)^2 + (-x)^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 16} = \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{\sqrt{6}\sqrt{2x^2 - 4x + 20}}$

両辺を2乗すると、

$\frac{3}{4} = \frac{9x^2}{6(2x^2 - 4x + 20)}$

$\frac{3}{4} = \frac{3x^2}{2(2x^2 - 4x + 20)}$

$6(2x^2 - 4x + 20) = 12x^2$

$2x^2 - 4x + 20 = 4x^2$

$2x^2 + 4x - 20 = 0$

$x^2 + 2x - 10 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{\sqrt{6}\sqrt{2x^2 - 4x + 20}}$ より、$x$ は正である必要があるので、$x = -1 + \sqrt{11}$ が解となります。

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3. 最終的な答え

$x = -1 + \sqrt{11}$