直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=2, AE=1とする。∠DEB = θとおく。 (1) BD, DE, EBの長さを求めよ。 (2) cosθの値を求めよ。 (3) 三角形BDEの面積を求めよ。 (4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=2, AE=1とする。∠DEB = θとおく。

(1) BD, DE, EBの長さを求めよ。

(2) cosθの値を求めよ。

(3) 三角形BDEの面積を求めよ。

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BD, DE, EBの長さを求める。

BDは長方形ABCDの対角線なので、三平方の定理より、

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

DEは長方形ADEHの対角線なので、三平方の定理より、

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

EBは長方形ABFEの対角線なので、三平方の定理より、

$EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

(2) cosθの値を求める。

三角形BDEにおいて余弦定理を用いると、

$BD^2 = DE^2 + EB^2 - 2 \cdot DE \cdot EB \cdot cosθ$

$13 = 5 + 10 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot cosθ$

$13 = 15 - 2 \sqrt{50} cosθ$

$2 \sqrt{50} cosθ = 2$

$cosθ = \frac{2}{2\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(3) 三角形BDEの面積を求める。

$sin^2θ + cos^2θ = 1$より、

$sin^2θ = 1 - cos^2θ = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{10})^2 = 1 - \frac{2}{100} = \frac{98}{100} = \frac{49}{50}$

$sinθ = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

三角形BDEの面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EB \cdot sinθ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{2}$

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求める。

直方体ABCD-EFGHの体積をVとすると、 $V = AB \cdot AD \cdot AE = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

また、四面体ABDEの体積をV'とすると、$V' = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1$

三角形BDEの面積をS, Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さをhとすると、

$V' = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

$1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot h$

$h = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1) BD = $\sqrt{13}$, DE = $\sqrt{5}$, EB = $\sqrt{10}$

(2) cosθ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$

(3) 三角形BDEの面積 = $\frac{7}{2}$

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さ = $\frac{6}{7}$