ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが 3 のベクトルを求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが 3 のベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積を計算します。外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルになります。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-4) - (1)(3) \\ (1)(2) - (2)(-4) \\ (2)(3) - (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3 \\ 2 + 8 \\ 6 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$$

次に、得られたベクトル $\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$ の大きさを計算します。

$$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{5^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$$

このベクトルは大きさが15なので、大きさが1のベクトル（単位ベクトル）を求めるために、このベクトルをその大きさで割ります。

$$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{1}{15}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}$$

最後に、大きさが 3 のベクトルを求めるために、単位ベクトルに 3 を掛けます。また、反対方向のベクトルも条件を満たすため、正負両方のベクトルを考慮します。

$$3\begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$-3\begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。