ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

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\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-4) - (1)(3) \\ (1)(2) - (2)(-4) \\ (2)(3) - (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3 \\ 2 + 8 \\ 6 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}

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したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (5, 10, 10)$です。

次に、$\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算します。

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||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{5^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15

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したがって、$||\vec{a} \times \vec{b}|| = 15$です。

大きさが1のベクトルを計算します。

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\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{(5, 10, 10)}{15} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)

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このベクトルは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直で、大きさが1です。

大きさが3のベクトルを求めるには、このベクトルを3倍します。

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3 \cdot \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = (1, 2, 2)

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また、$\vec{a} \times \vec{b}$ の逆方向のベクトルも $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直で、大きさ3となるベクトルです。

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-3 \cdot \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = (-1, -2, -2)

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3. 最終的な答え

求めるベクトルは $(1, 2, 2)$ と $(-1, -2, -2)$ です。