2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるとき、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の公式を利用します。2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、$\cos{\theta} = \cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(x-2) + (-1)(-x) + (1)(4) = 2x - 4 + x + 4 = 3x$

次に、$|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

次に、$|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{(x-2)^2 + (-x)^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 16} = \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

これらの値を内積の公式に代入します。

$3x = \sqrt{6} \sqrt{2x^2 - 4x + 20} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

両辺を2乗します。

$9x^2 = 6(2x^2 - 4x + 20) \cdot \frac{3}{4}$

$9x^2 = \frac{9}{2} (2x^2 - 4x + 20)$

$x^2 = x^2 - 2x + 10$

$0 = -2x + 10$

$2x = 10$

$x = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$