問題は、定義の条件を満たす関数 $f(x) = a^x$ が唯一であることを、指定された手順を用いて示すことです。具体的には、以下の性質が成り立つことを利用します。 a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{ 回の積}}$ b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$ c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$ d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$ e) $a^0 = 1$ f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

1. 問題の内容

問題は、定義の条件を満たす関数 $f(x) = a^x$ が唯一であることを、指定された手順を用いて示すことです。具体的には、以下の性質が成り立つことを利用します。

a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{ 回の積}}$

b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$

c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$

d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$

e) $a^0 = 1$

f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

2. 解き方の手順

問題文の指示は「〜であることを示せ」という形式なので、これらの性質を利用して、$a^x$ の形が唯一に定まることを示す必要があります。ただし、これは証明問題であり、具体的な数値計算をするものではありません。そのため、各性質がどのように$a^x$の定義を狭めていくのか、あるいは整合性があるのかを記述していきます。

a) 自然数 $n$ に対して $a^{nx} = \underbrace{a^x a^x \cdots a^x}_{n \text{ 回の積}}$ は、$a^x$ を $n$ 回掛け合わせたものが $a^{nx}$ であることを示しています。これは、指数法則 $a^{nx} = (a^x)^n$ と整合性があります。

b) 実数 $x$ に対して $a^x \neq 0$ は、$a^x$ がゼロにならないことを示しています。これは、$a>0$の場合に成り立つ性質です。

c) 実数 $x$ に対して $a^x \geq 0$ は、$a^x$ が非負であることを示しています。これも、$a>0$の場合に成り立つ性質です。

d) 自然数 $n$ に対して $a^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{a^x}$ は、分数指数が累乗根に対応することを示しています。

e) $a^0 = 1$ は、0乗の定義です。

f) 実数 $x$ に対して $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ は、負の指数の定義です。

これらの性質は、指数関数の基本的な性質であり、$a^x$ の形を特徴づけるものです。 これらの条件を満たす関数が$a^x$のみであることを厳密に示すためには、追加の仮定（例えば、$a^x$が連続関数であるなど）が必要になることがあります。

3. 最終的な答え

問題文で与えられた性質 a) から f) は、$f(x) = a^x$ という指数関数が一意に定まるための重要な性質です。 これらの性質は指数関数の定義と整合的であり、これらの性質を満たす関数は $a^x$ であると考えられます。厳密な証明はより高度な数学的議論が必要ですが、問題文の指示に従えば、これらの性質によって $f(x) = a^x$ がほぼ一意に定まることを示唆するものとして捉えられます。