2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (2, -1, 1)$ と $\vec{b} = (x-2, -x, 4)$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義から以下の関係が成り立つ。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(x-2) + (-1)(-x) + 1(4) = 2x - 4 + x + 4 = 3x$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(x-2)^2 + (-x)^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + x^2 + 16} = \sqrt{2x^2 - 4x + 20}$

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

内積の定義の式に代入すると、

$3x = \sqrt{6} \sqrt{2x^2 - 4x + 20} \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3x = \sqrt{6} \sqrt{2x^2 - 4x + 20} \frac{\sqrt{3}}{2}$

両辺を2倍して整理すると

$6x = \sqrt{18(2x^2 - 4x + 20)}$

$6x = \sqrt{36x^2 - 72x + 360}$

両辺を2乗すると

$36x^2 = 36x^2 - 72x + 360$

$72x = 360$

$x = \frac{360}{72} = 5$

3. 最終的な答え

$x = 5$