## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、以下の2つの関数を微分する問題です。

(2) $y = (x^2 + 1) \cot \frac{x}{3}$

(4) $y = \tan 2x \cot 3x$

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2. 解き方の手順

### (2) $y = (x^2 + 1) \cot \frac{x}{3}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = x^2 + 1$ と $v = \cot \frac{x}{3}$ と置きます。

$u' = 2x$

$v' = -\csc^2 \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \csc^2 \frac{x}{3}$

したがって、

$y' = (x^2 + 1)' \cot \frac{x}{3} + (x^2 + 1) (\cot \frac{x}{3})'$

$y' = 2x \cot \frac{x}{3} + (x^2 + 1) \left(-\frac{1}{3} \csc^2 \frac{x}{3}\right)$

$y' = 2x \cot \frac{x}{3} - \frac{1}{3} (x^2 + 1) \csc^2 \frac{x}{3}$

### (4) $y = \tan 2x \cot 3x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = \tan 2x$ と $v = \cot 3x$ と置きます。

$u' = \sec^2 2x \cdot 2 = 2 \sec^2 2x$

$v' = -\csc^2 3x \cdot 3 = -3 \csc^2 3x$

したがって、

$y' = (\tan 2x)' \cot 3x + \tan 2x (\cot 3x)'$

$y' = 2 \sec^2 2x \cot 3x + \tan 2x (-3 \csc^2 3x)$

$y' = 2 \sec^2 2x \cot 3x - 3 \tan 2x \csc^2 3x$

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3. 最終的な答え

(2) $y' = 2x \cot \frac{x}{3} - \frac{1}{3} (x^2 + 1) \csc^2 \frac{x}{3}$

(4) $y' = 2 \sec^2 2x \cot 3x - 3 \tan 2x \csc^2 3x$