与えられた行列に関する等式 $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}^{-1}$ が成り立つとき、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列に関する等式

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}^{-1}$

が成り立つとき、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

一般に、2x2行列$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$の逆行列は、行列式を$ad-bc$として、

$\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$で与えられる。

したがって、行列$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$の行列式は、$ac-0b = ac$となる。

よって、逆行列は

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ac}\begin{pmatrix} c & -b \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{c}{ac} & -\frac{b}{ac} \\ 0 & \frac{a}{ac} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{ac} \\ 0 & \frac{1}{c} \end{pmatrix}$

となる。

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{ac} \\ 0 & \frac{1}{c} \end{pmatrix}$

が成り立つためには、

$a = \frac{1}{a}$、 $b = -\frac{b}{ac}$、$c = \frac{1}{c}$

が成り立つ必要がある。

$a = \frac{1}{a}$より、$a^2 = 1$なので、$a = \pm 1$である。

$c = \frac{1}{c}$より、$c^2 = 1$なので、$c = \pm 1$である。

$b = -\frac{b}{ac}$より、$b(1 + \frac{1}{ac}) = 0$なので、$b(ac + 1) = 0$である。

したがって、$b = 0$または$ac = -1$である。

$a = \pm 1$かつ$c = \pm 1$なので、$ac = \pm 1$である。

$ac = -1$の場合もあるため、$b = 0$である必要がある。

3. 最終的な答え

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