問題文は、$xy$平面上の方程式 $x^2 + y^2 - 6x - 8y + a = 0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求めることと、その円と円 $x^2 + y^2 = 1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めることです。

1. 問題の内容

問題文は、$xy$平面上の方程式 $x^2 + y^2 - 6x - 8y + a = 0$ が円を表すような定数 $a$ の値の範囲を求めることと、その円と円 $x^2 + y^2 = 1$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 - 6x - 8y + a = 0$ が円を表す条件を求める。

この式を平方完成すると、

$(x-3)^2 + (y-4)^2 - 9 - 16 + a = 0$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 - a$

これが円を表すための条件は、右辺が正であることなので、

$25 - a > 0$

$a < 25$

(2) 円 $x^2 + y^2 - 6x - 8y + a = 0$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が異なる2点で交わる条件を求める。

円 $x^2 + y^2 = 1$ は、中心が原点 $(0, 0)$ で半径が $1$ の円です。

円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 - a$ は、中心が $(3, 4)$ で半径が $\sqrt{25 - a}$ の円です。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

2つの円が異なる2点で交わる条件は、

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

ここで、$r_1 = 1$, $r_2 = \sqrt{25 - a}$, $d = 5$ なので、

$|1 - \sqrt{25 - a}| < 5 < 1 + \sqrt{25 - a}$

まず、$5 < 1 + \sqrt{25 - a}$ を解くと、

$4 < \sqrt{25 - a}$

$16 < 25 - a$

$a < 9$

次に、$|1 - \sqrt{25 - a}| < 5$ を解くと、

$-5 < 1 - \sqrt{25 - a} < 5$

$-6 < - \sqrt{25 - a} < 4$

$-4 < \sqrt{25 - a} < 6$

$\sqrt{25 - a} > -4$ は常に成り立つ。

$\sqrt{25 - a} < 6$ より、

$25 - a < 36$

$-11 < a$

$a > -11$

したがって、$a$ の範囲は、$-11 < a < 9$

3. 最終的な答え

$a < 25$ かつ $-11 < a < 9$ より、$-11 < a < 9$

円を表すaの値の範囲は、$a < 25$

2つの円が異なる2点で交わるaの値の範囲は、$-11 < a < 9$