$A = [a_{ij}]$ を $m \times n$ 行列、$B = [b_{ij}]$ を $n \times r$ 行列とするとき、${}^t(AB) = {}^t B {}^t A$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$A = [a_{ij}]$ を $m \times n$ 行列、$B = [b_{ij}]$ を $n \times r$ 行列とするとき、${}^t(AB) = {}^t B {}^t A$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $AB$ の $(i,j)$ 成分を計算します。

$AB$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ となります。

(2) ${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分を計算します。

${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は $AB$ の $(j,i)$ 成分に等しいので、$\sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}$ となります。

(3) ${}^t A$ の $(i,j)$ 成分、${}^t B$ の $(i,j)$ 成分を計算します。

${}^t A$ の $(i,j)$ 成分は $a_{ji}$ 、${}^t B$ の $(i,j)$ 成分は $b_{ji}$ となります。

(4) ${}^t B {}^t A$ の $(i,j)$ 成分を計算します。

${}^t B {}^t A$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^n ({}^t B)_{ik} ({}^t A)_{kj} = \sum_{k=1}^n b_{ki} a_{jk} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}$ となります。

(5) ${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分と ${}^t B {}^t A$ の $(i,j)$ 成分が等しいことを確認します。

${}^t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}$ であり、${}^t B {}^t A$ の $(i,j)$ 成分も $\sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}$ なので、${}^t(AB) = {}^t B {}^t A$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

${}^t(AB) = {}^t B {}^t A$