画像に記載された数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題に取り組みます。 * 52 (1) (x+4)(x^2-4x+16) * 53 (1) x^3 + 27 * 54 (1) (3x+2y)^3 + (3x-2y)^3

1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題に取り組みます。

* 52 (1) (x+4)(x^2-4x+16)

* 53 (1) x^3 + 27

* 54 (1) (3x+2y)^3 + (3x-2y)^3

2. 解き方の手順

* 52 (1) (x+4)(x^2-4x+16)の展開

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式の右辺の形をしています。

ここで、$a=x$、$b=4$ とすると、$a^3 + b^3 = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$ となります。

* 53 (1) x^3 + 27 の因数分解

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用します。

ここで、$a=x$、$b=3$ とすると、$x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$ となります。

* 54 (1) (3x+2y)^3 + (3x-2y)^3 の展開

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用することも可能ですが、今回はそれぞれの三乗を展開し、整理する方法で進めます。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$、 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用します。

$(3x+2y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 + (2y)^3 = 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3$

$(3x-2y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 - (2y)^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$

したがって、

$(3x+2y)^3 + (3x-2y)^3 = (27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3) + (27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3) = 54x^3 + 72xy^2$

$18x$でくくって、$18x(3x^2+4y^2)$

3. 最終的な答え

* 52 (1): $x^3 + 64$

* 53 (1): $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

* 54 (1): $54x^3 + 72xy^2 = 18x(3x^2+4y^2)$