$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\cos 2\alpha$ (2) $\sin 2\alpha$ (3) $\sin \frac{\alpha}{2}$

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\cos 2\alpha$

(2) $\sin 2\alpha$

(3) $\sin \frac{\alpha}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ の値を求める。$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

(1) $\cos 2\alpha$ を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (-\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

(2) $\sin 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}$

(3) $\sin \frac{\alpha}{2}$ を求める。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ となるので、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ である。

$\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ より、

$2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha = 1 - (-\frac{4}{5}) = \frac{9}{5}$

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{9}{10}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$

(2) $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$

(3) $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$