$p, q$ が定数のとき、一般項が $a_n = pn + q$ で表される数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示し、また、初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

$p, q$ が定数のとき、一般項が $a_n = pn + q$ で表される数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示し、また、初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示すためには、隣り合う項の差 $a_{n+1} - a_n$ が定数であることを示せばよい。

まず、$a_n = pn + q$ より、$a_{n+1}$ を求める。$n$ を $n+1$ に置き換えて、

$a_{n+1} = p(n+1) + q$

次に、$a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$a_{n+1} - a_n = \{p(n+1) + q\} - (pn + q)$

上の式を展開して整理すると、

$a_{n+1} - a_n = pn + p + q - pn - q = p$

したがって、$a_{n+1} - a_n = p$ となり、$n$ によらず一定である。

よって、数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。

次に、初項を求める。$n = 1$ のとき、

$a_1 = p \cdot 1 + q = p + q$

したがって、初項は $p+q$ である。

公差は、$a_{n+1} - a_n$ で求められるから、$p$ である。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、初項は $p+q$、公差は $p$ である。