$x > 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x}$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x}$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理する。

$f(x) = \frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} + \frac{3}{x} = x - 4 + \frac{3}{x}$

次に、相加相乗平均の不等式を利用する。$x > 0$ より、$x$ と $\frac{3}{x}$ は正である。

$x + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{3}{x}} = 2\sqrt{3}$

よって、

$f(x) = x + \frac{3}{x} - 4 \ge 2\sqrt{3} - 4$

等号成立条件は、$x = \frac{3}{x}$、つまり $x^2 = 3$。 $x > 0$ より、$x = \sqrt{3}$。

したがって、$f(x)$ の最小値は $2\sqrt{3} - 4$ である。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} - 4$