与えられた2つの関数について、最大値と最小値があれば、それらを求める問題です。 (1) $y = -2x^4 - 4x^2 + 3$ (2) $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 10$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、最大値と最小値があれば、それらを求める問題です。

(1) $y = -2x^4 - 4x^2 + 3$

(2) $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 10$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = x^2$ と置きます。すると、$t \ge 0$ であり、関数は

$y = -2t^2 - 4t + 3$

と表せます。これを平方完成します。

$y = -2(t^2 + 2t) + 3$

$y = -2(t^2 + 2t + 1 - 1) + 3$

$y = -2(t+1)^2 + 2 + 3$

$y = -2(t+1)^2 + 5$

この関数は、$t = 0$ のとき最大値を持ちます。このとき $x^2 = 0$ なので、$x = 0$。

最大値は $y = -2(0+1)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$。

また、$t \ge 0$ なので、$-2(t+1)^2 + 5 \le 5$ となります。

$t$ が大きくなるにつれて、$y$ は小さくなるため、最小値はありません。

(2)

$u = x^2 - 2x$ と置きます。すると、関数は

$y = u^2 + 4u + 10$

と表せます。これを平方完成します。

$y = u^2 + 4u + 4 - 4 + 10$

$y = (u+2)^2 + 6$

$u = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ であるから、$u \ge -1$。

したがって、$u = -1$ のとき $y$ は最小値をとります。

最小値は $y = (-1+2)^2 + 6 = 1 + 6 = 7$

$u = -1$ のとき、$x^2 - 2x = -1$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$ なので、$x = 1$。

また、$u$ が大きくなるにつれて、$y$ は大きくなるため、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 (x=0), 最小値: なし

(2) 最小値: 7 (x=1), 最大値: なし