2次式と3次式の2つの整式がある。これらの最大公約数は $2x-1$ であり、最小公倍数は $2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$ である。このとき、2つの整式を求める。

1. 問題の内容

2次式と3次式の2つの整式がある。これらの最大公約数は $2x-1$ であり、最小公倍数は $2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$ である。このとき、2つの整式を求める。

2. 解き方の手順

2つの整式を $A(x)$ と $B(x)$ とします。最大公約数を $G(x)$、最小公倍数を $L(x)$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$A(x)B(x) = G(x)L(x)$

この問題では、$G(x) = 2x-1$ であり、$L(x) = 2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4$ です。

したがって、

$A(x)B(x) = (2x-1)(2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4)$

ここで、$L(x)$ を因数分解することを試みます。$L(x)$ は $2x-1$ で割り切れるはずです。実際に割ってみると、

$2x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 4 = (2x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 4)$

よって、

$A(x)B(x) = (2x-1)^2(x^3 + 2x^2 + 2x + 4)$

$x^3 + 2x^2 + 2x + 4$ をさらに因数分解します。$x=-2$ を代入すると、$(-2)^3 + 2(-2)^2 + 2(-2) + 4 = -8 + 8 - 4 + 4 = 0$ となり、$x+2$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で $x^3 + 2x^2 + 2x + 4$ を $x+2$ で割ると、$x^2+2$ になります。

$x^3 + 2x^2 + 2x + 4 = (x+2)(x^2+2)$

したがって、$A(x)B(x) = (2x-1)^2(x+2)(x^2+2)$ となります。

$A(x)$ は2次式、$B(x)$ は3次式なので、$A(x)$ が $(2x-1)(x+2)$で、$B(x)$ が $(2x-1)(x^2+2)$ か、$A(x)$ が $x^2+2$ で、$B(x)$ が $(2x-1)^2(x+2)$ のいずれかとなります。ただし$2x-1$は最大公約数なので、$A(x)$と$B(x)$は$2x-1$を共通因数に持つ必要があります。よって、$A(x) = (2x-1)(x+2)$ および $B(x) = (2x-1)(x^2+2)$ となります。

$A(x) = (2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$

$B(x) = (2x-1)(x^2+2) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 3x - 2$ および $2x^3 - x^2 + 4x - 2$